Question

袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球（球的大小均相同）從中任取2個(gè)球，設(shè)每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，已知得0分的概率為

1

6

，
（1）求得分至少有2分的概率
（2）設(shè)所得分?jǐn)?shù)為X，求E（X）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由已知得

x(x-1) 2

(x+5)(x+4) 2

=

1

6

，從而求出袋中有4個(gè)黑球．由此利用對(duì)立事件的概率公式能求出得分至少有2分的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E（X）．

解答： 解：（1）設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為x個(gè)．
從袋中任取2個(gè)球，共有C_x+5²=

(x+5)(x+4)

2

種不同的取法
取道兩只黑球的情況有C_x²=

x(x-1)

2

種不同的取法
而當(dāng)取到的兩球均為黑球時(shí)，得分為0分，
∴得0分的概率為

x(x-1) 2

(x+5)(x+4) 2

=

1

6

，
解得x=4，即袋中有4個(gè)黑球．
∴得分至少有2分的概率P=1-

C 2 4

C 2 9

-

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=1-

1

6

-

1

3

=

1

2

．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（X=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 9

+

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

11

36

，
P（X=3）=

C 1 3 C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P（X=4）=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

，
∴E（X）=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，是中檔題．