Question

函數(shù)f(x)=

x2+1

x-1

的值域?yàn)?!--BA-->

(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)采用三角換元法可得f(x)=

1

2 sin(θ- π 4 )

，再利用一般換元法令u=

2

sin(θ-

π

4

)，進(jìn)而由三角函數(shù)的值域求得答案．

解答：解：設(shè)x=tanθ，-

π

2

＜θ＜

π

2

，由tanθ≠1可知θ≠

π

4

，
于是原函數(shù)可化為f(x)=

tan2θ+1

tanθ-1

=

sin2θ cos2θ +1

tanθ-1

=

sin2θ+cos2θ cos2θ

tanθ-1

=

1 cosθ

tanθ-1

=

1

sinθ-cosθ

=

1

2 sin(θ- π 4 )

．
令u=

2

sin(θ-

π

4

)，由三角函數(shù)的值域可知-

2

≤u＜1，且u≠0，
所以 f(x)=

1

u

∈(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)．
故答案為：(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)．

點(diǎn)評：本題為函數(shù)值域的求解，兩步換元及三角函數(shù)的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．