Question

如圖，四棱錐S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=

2

，SA=SC=SD=2．
（I）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OD，由已知得AC⊥平面SOD，由此能證明AC⊥SD．
（Ⅱ）由題意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，從而SO⊥平面ABCD，連接BO，則∠SBO為直線SB與平面ABCD所成的角，由此能求出二面角A-SB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點O，連接OD，
∵AD=DC，∴AC⊥OD，
又∵SA=SC，∴AC⊥OS，
由OD∩OS=O，得AC⊥平面SOD，
∵SD?平面SOD，∴AC⊥SD．
（Ⅱ）解：由題意知OA=OC=OD，
∵SA=SC=SD，
∴O是點S在平面ABCD上的射影，
故SO⊥平面ABCD，
連接BO，則∠SBO為直線SB與平面ABCD所成的角，
由題意知∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
且AB=AC=2，∴BO=

5

，
在Rt△SBO中，SB=

SO2+BO2

=2

2

，
∴cos∠SBO=

5

2 2

=

10

4

，
∴二面角A-SB-C的余弦值為

10

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運用．