Question

8．已知函數(shù)$g（x）=（{x^2}-cosx）sin\frac{π}{6}$，對于$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：
①${x_1}^3＞{x_2}^3$；②|x₁|＞x₂；③x₁＞|x₂|；④$x_1^2＞x_2^2$．
其中能使g（x₁）＞g（x₂）恒成立的條件序號是③④．

Answer 1

分析 說明函數(shù)f（x）的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)f（x）單調(diào)性，由以上兩性質(zhì)可得f（x）圖象類似于開口向上的拋物線，得出那個x離y軸遠(yuǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值就大．

解答 解：∵g（x）=$\frac{1}{2}$[（-x）²-cos（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²-cosx]=g（x），
∴g（x）是偶函數(shù)，∴g（x）圖象關(guān)于y軸對稱，
∵g′（x）=x+$\frac{1}{2}$sinx＞0，x∈（0，$\frac{π}{2}$]，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，在[-$\frac{π}{2}$，0）是減函數(shù)，
故③x₁＞|x₂|；④$x_1^2＞x_2^2$時，g（x₁）＞g（x₂）恒成立，
故答案為：③④．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，用定義來說明．