Question

已知函數(shù)f(x)=

-2x+n

2x+1+m

圖象關(guān)于原點對稱，定義域是R．
（1）求m、n的值；
（2）若對任意t∈[-2，2]，f（tx-2）+f（x）＞0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)f（0）=0，f（1）=-f（-1）可得m、n的值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合（1）中函數(shù)的奇偶性，可將不等式f（tx-2）+f（x）＞0化為xt+x-2＜0對任意的t∈[-2，2]恒成立，進而得到實數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

-1+n

2+m

=0，解得n=1，
從而有f(x)=

-2x+1

2x+1+m

，
又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+m

=

- 1 2 +1

1+m

，
解得m=2
（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（2-tx）=-f[-（2-tx）]=-f（tx-2），f（tx-2）+f（x）＞0
即f（x）＞f（2-tx）
即x＜2-tx，
即xt+x-2＜0對任意的t∈[-2，2]恒成立
∴

-2x+x-2＜0 2x+x-2＜0

∴

x＞-2 x＜ 2 3

解得：x∈(-2，

2

3

)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的奇偶性，（2）的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對不等式進行轉(zhuǎn)化．