(1)B1D1與A1D能否垂直?請(qǐng)證明你的判斷.
(2)當(dāng)∠A1B1C1在[,
]上變化時(shí),求異面直線AC1與A1B1所成角的取值范圍.
解析:(1)不可能垂直.
如果B1D1⊥A1D則B1D1⊥A1D1(三垂線定理逆定理).
而這不可能.∴B1D1不垂直于A1D.
(2)解法一:設(shè)=a,
=b,
=c,則
=
-
=
-(
+
)=a-(b+c).
·
=(a-b-c)·(-b)=b2+b·c-a·b
=1-1×1cosθ=1-cosθ.
||=
.
||=1
∴cos<,
>=
,0≤cosθ≤
,
∴≤cos<
,
>≤
.
故AC1,與A1B1所成角范圍[arccos,arccos
].
解法二:∵A1B1∥C1D1,
∴C1D1與AC1所成的角∠AC1D就是異面直線AC1與A1B1所成的角.
∵≤∠A1B1C1≤
,
∴0≤cosA1B1C1≤.
在△A1B1C1中
A1C12=B1C12+A1B12-2B1C1·A1B1
cosA1B1C1
=1+1-2cosA1B1C1
=2-2cosA1B1C1.
在Rt△AA1C1中,
AC12=AA12+A1C12=22+A1C12=4+A1C12.
連結(jié)AD1在,Rt△AA1D中,AD12=AA12+A1D12=22+12=5.
在△AC1D1中,
cosAC1D1=
=.
∵0≤cosA1B1C1≤,
∴≤cosAC1D≤
.
故AC1與A1B1所成的角范圍為?[arccos,arccos
].
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