Question

如圖，在邊長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E為AD中點，

(文)求E點到平面A₁C₁B的距離

(文)求二面角B－A₁C₁－B₁的平面角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(文)在邊長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1連B1D1，則B1D1⊥A1C1，設(shè)其交點為O1，連O1B．則由三垂線定理可知O1B⊥A1C1 　　∴∠BO1B1為二面角B－A1C1－B1的平面角． 　　又BB1＝1，O1B＝，∴tan∠BO1B1＝，從而cos∠BO1B1＝ 　　＝． 　　(2)取DC中點F，連接EF交BD于M點，又E為AD中點，故可知EF∥A1C1，則EF∥面BA1C1，因此E到平面BA1C1的距離就是M點到平面BA1C1的距離． 　　在對角面BA1D1D內(nèi)，過M作MH⊥O1B交OB1于H， 　　∵A1C1⊥面BB1D1D，則面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B，則MH⊥面BA1C1，又∵sin∠DBO1＝故在△MHB中，MH＝BM·sin∠DBO1＝·＝ 　　故E到平面BA1C1之距離為