已知函數(shù)f(x)=
12
x2-3x+2lnx

(1)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求證:在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3-3x圖象的下方.
分析:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進而可得函數(shù)的極值與最值;
(2)設F(x)=f(x)-g(x),在區(qū)間[1,+∞)上函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3-3x圖象的下方等價于F(x)<0在[1,+∞)上恒成立,轉化為考查F(x)最小值問題.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
f(x)=
1
2
x2-3x+2lnx
.得
f′(x)=x+
2
x
-3=
x2-3x+2
x
=
(x-1)(x-2)
x

當x∈(1,2)時,f′(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,當x∈(2,e)時,f′(x)>0,f(x)在(2,e)上單調(diào)遞增,
所以當x=2時,f(x)min=f(2)=2ln2-4.
又f(1)=-
5
2
,f(e)=
1
2
e2-3e+2
,f(e)-f(1)=
1
2
(e2-6e+9)
=
1
2
(e-3)2
>0,
所以f(e)>f(1),f(x)max=f(e)=
1
2
e2-3e+2
,
綜上所述,函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值為
1
2
e2-3e+2
,最小值為2ln2-4.
(2)設F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x2+2lnx-x3
,則F′(x)=-3x2+x+
2
x
=
-3x3+x2+2
x
=
-(x-1)(3x2+2x+2)
x

當x∈(1,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0,所以F(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),且F(1)=-
1
2
<0,
故當x∈[1,+∞)時,F(xiàn)(x)<0,所以
1
2
x2-3x+2lnx
<x3-3x,
所以在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3-3x圖象的下方.
點評:考查學生了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力,數(shù)形結合的思想方法.是中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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