Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³-3x圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的極值與最值；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），在區(qū)間[1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³-3x圖象的下方等價于F（x）＜0在[1，+∞）上恒成立，轉化為考查F（x）最小值問題．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
由f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx．得
f′（x）=x+

2

x

-3=

x2-3x+2

x

=

(x-1)(x-2)

x

當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，當x∈（2，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，e）上單調(diào)遞增，
所以當x=2時，f（x）_min=f（2）=2ln2-4．
又f（1）=-

5

2

，f（e）=

1

2

e2-3e+2，f（e）-f（1）=

1

2

(e2-6e+9)=

1

2

(e-3)2＞0，
所以f（e）＞f（1），f（x）_max=f（e）=

1

2

e2-3e+2，
綜上所述，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為

1

2

e2-3e+2，最小值為2ln2-4．
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2lnx-x3，則F′（x）=-3x²+x+

2

x

=

-3x3+x2+2

x

=

-(x-1)(3x2+2x+2)

x

當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，且F（1）=-

1

2

＜0，
故當x∈[1，+∞）時，F(xiàn)（x）＜0，所以

1

2

x2-3x+2lnx＜x³-3x，
所以在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=x³-3x圖象的下方．

點評：考查學生了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力，數(shù)形結合的思想方法．是中檔題．