Question

設f（x）是R上的奇函數(shù)，且對任意的實數(shù)a，b當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大�。�
（2）若存在實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]使得不等式f（x-c）+f（x-c²）＞0成立，試求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和條件得：

f(a)-f(b)

a-b

=

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＞0，由a＞b判斷出f（a）、f（b）的大��；
（2）根據(jù)（1）和單調(diào)性的定義可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得：f（x-c）+f（x-c²）＞0等價于f（x-c）＞f（c²-x），根據(jù)單調(diào)性列出關(guān)于x得不等式，求出x的范圍即不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴

f(a)-f(b)

a-b

=

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＞0，
又∵a＞b，∴a-b＞0，∴f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）．

（2）由（1）知，a＞b時，都有f（a）＞f（b），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x-c）+f（x-c²）＞0等價于f（x-c）＞f（c²-x）
∴不等式等價于x-c＞c²-x，即c²+c＜2x，
∵存在實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]使得不等式c²+c＜2x成立，
∴c²+c＜3，即c²+c-3＜0，
解得，-

1+ 13

2

＜c＜

13 -1

2

，
故c的取值范圍為(-

1+ 13

2

，

13 -1

2

)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，以及抽象函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法等，屬于中檔題．