Question

4．已知AB是圓x²+y²=1的一條直徑，點(diǎn)P在圓（x-4）²+（y-3）²=1上，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為（　�。�

• A． 15
• B． 17
• C． 24
• D． 35

Answer 1

分析 【解法一】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-1，結(jié)合|$\overrightarrow{OP}$|的幾何意義求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．
【解法二】設(shè)出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，從而求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．
【解法三】利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{4}$[${（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）}^{2}$-${（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}）}^{2}$]=${|\overrightarrow{OP}|}^{2}$-1，結(jié)合題意求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：【解法一】$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$）
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-1；
因?yàn)镻在圓（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為4²-1=15．
【解法二】因?yàn)锳B是圓x²+y²=1的一條直徑，
故可設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），P（m，n），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₀-m，y₀-n）•（-x₀-m，-y₀-n）
=（m²+n²）-（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$）；
又${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（m²+n²）-1；
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，即m²+n²≥16，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為15．
【解法三】由題意，得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{4}$[${（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）}^{2}$-${（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}）}^{2}$]=${|\overrightarrow{OP}|}^{2}$-1，
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為15．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．