在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和，
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。
解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則，
由題設(shè)當(dāng)x＞2時(shí)，
由①得，
化簡得；
當(dāng)x≤2時(shí)，由①得，
化簡得；
故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分
與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分
（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1；
（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與的
交點(diǎn)都是，
直線AF，BF的斜率分別為，
當(dāng)點(diǎn)P在C1上時(shí)，由②知，④
當(dāng)點(diǎn)P在C2上時(shí)，由③知|PF|=3+x，⑤
若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3），
（1）當(dāng)k≤時(shí)，
直線l與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)都在C1上，
此時(shí)由④知，
從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣
=，
由得，
則是這個(gè)方程的兩根，
所以*
∣MN∣=，
因?yàn)楫?dāng)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。
（2）當(dāng)時(shí)，
直線l與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)分別在上，
不妨設(shè)點(diǎn)M在C1上，點(diǎn)C2上，
則④⑤知，，
設(shè)直線AF與橢圓C1的另一交點(diǎn)為E，
，
所以，
而點(diǎn)A，E都在C1上，且，
有（1）知，
若直線l的斜率不存在，則=3，
此時(shí)，；
綜上所述，線段MN長度的最大值為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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