Question

設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，且a＞2c＞b．
（I）判斷a，b的符號(hào)；
（II）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)
（III如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[m，n]，求n-m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，可知，得到a、b、c的等量關(guān)系，然后利用不等式中的放縮法可判定a與b的符號(hào)；
（2）由①得f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，討論c的符號(hào)，當(dāng)c≤0時(shí)且f'（2）=a-c＞0則f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)c＞0，f'（1）=c＞0且，則f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，從而證得結(jié)論；
（3）由①得2c=-3a-2b，然后消去c可求出的取值范圍，根據(jù)題意可知m，n為f'（x）=0的兩根，將n-m用表示，然后根據(jù)的取值范圍可求出n-m的取值范圍．
解答：.解：（1）∵，
∴f′（x）=ax²+bx+c
∵
∴a+b+c=-即3a+2b+2c=0①（1分）
又∵a＞2c＞b，
∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a，3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b，
結(jié)合①得a＞0，且b＜0（3分）
（2）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
1°當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0∴且f'（2）=a-c＞0
∴f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)． （5分）
2°當(dāng)c＞0，∵a＞0∴f'（1）=c＞0且
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)． （8分）
綜合1°和2°得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．
（3）由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0，∴
∴②（9分）
∵a＞0，f'（x）為二次函數(shù)，所以m，n為f'（x）=0的兩根，
則③④（10分）
由③④得
由②得，
即n-m的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及放縮法應(yīng)用和函數(shù)的值域，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．