Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為2的等比數(shù)列，且滿足
（1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{b_n}，試寫出數(shù)列
{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，求得，由存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，求出（2p+2）²=2（2p²+2p=4），由此能求出常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：（i）當n=2k（k∈N^*）時，；（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，b_n=a_3k-1=2^3k-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）由{b_2n-1}是首項為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，知{b_2n}是首項b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，由此能求出．假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則=1+=，即．由此能夠推導(dǎo)出當且僅當n=2時，．
解答：解：（1）由，
得，
∵存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，
∴a=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故數(shù)列{a_n}為首項是非，公比為2的等比數(shù)列，即，
此時，也滿足，
則所求常數(shù)p的值為1，且（n∈N^*）．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：
（i）當n=2k（k∈N^*）時，；
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴．
（3）∵{b_2n-1}是首項為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，
{b_2n}是首項b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，則
（i）當n=2k（k∈N^*）時，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=
=
=．
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=
=
=．
即．
假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則=1+=，
∴．
則（i）當n=2k（k∈N^*）時，
===，
解得8^k=8，k=1．
即當n=2時，滿足條件．
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，
====，
解得8^k=，
∵k∈N^*，∴此時無滿足條件的正整數(shù)n．
綜上所述，當且僅當n=2時，．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查正整數(shù)是否存在的探究．考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．