Question

17．已知函數(shù)$f（x）={log_{0.5}}[{{x^2}-2（{2a-1}）x+8}]$，a∈R．
（1）若使函數(shù)f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上僅有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的取值范圍，
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上僅有一解，轉(zhuǎn)化為x²-4ax+2=0，在[1，3]上僅有一解，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）令t=x²-2（2a-1）x+8＞0，
∵y=log_0.5t在[a，+∞）上為減函數(shù)，
則t=x²-2（2a-1）x+8在[a，+∞）上為增函數(shù)，
∵其對(duì)稱軸為x=2a-1，
∴t在[2a-1，+∞）為增函數(shù)，
則a≥2a-1，且t（a）＞0，即a²-2（2a-1）a+8＞0，
解得a≤1或-$\frac{4}{3}$＜a＜2，
故a的取值范圍為（-$\frac{4}{3}$，1]；
（2）∵f（x）=-1+log_0.5（x+3）=log_0.5（2x+6），
∴x²-2（2a-1）x+8=2x+6，
∴x²-4ax+2=0，
∵關(guān)于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上僅有一解，
設(shè)g（x）=x²-4ax+2，
則g（1）g（3）≤0，
即（3-4a）（11-12a）≤0，
解得$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{11}{12}$，
故a的取值范圍為[$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{12}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及方程的解的問題，屬于中檔題．