Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且此函數(shù)的圖象過點（1，5）．
（1）求實數(shù)m的值，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）將點（1，5）帶入函數(shù)f（x）解析式即可得到m，求f（x）的定義域，判斷f（-x）和f（x）的關系，從而判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，然后通過作差判斷f（x₁）與f（x₂）的關系即可得出f（x）在[1，2]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）過點（1，5），∴1+m=5，m=4；
∴f（x）=x+

4

x

，該函數(shù)定義域為{x|x≠0}；
f(-x)=-x+

4

-x

=-f(x)；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）設x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂，則：

f(x1)-f(x2) =x1+ 4 x1 -x2- 4 x2 =(x1-x2)+ 4(x2-x1) x1x2 = (x1-x2)(x1x2-4) x1x2

∵x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．

點評：考查函數(shù)圖象上點的坐標和函數(shù)解析式的關系，函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法，以及利用單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．