Question

用判別式求下列函數(shù)的值域：
（1）y=（x²-x+3）÷（x²-x+1）；
（2）y=8÷（x²-4x+5）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)y=1時(shí)，3=1不成立；當(dāng)y≠1時(shí)，原函數(shù)化為（y-1）x²-（y-1）x+y-3=0，利用判別式△≥0，注意但y≠1．求出y的取值范圍即可；
（2）把函數(shù)化為yx²-4yx+5y-8=0，利用判別式△≥0，注意但y≠0．求出y的取值范圍即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=

x2-x+3

x2-x+1

，定義域?yàn)镽，
∴當(dāng)y=1時(shí)，3=1不成立；
當(dāng)y≠1時(shí)，原函數(shù)化為（y-1）x²-（y-1）x+y-3=0，
∴判別式△=（y-1）²-4（y-1）（y-3）≥0，
即（y-1）（3y-11）≤0，
解得1≤y≤

11

3

，但y≠1，
綜上，函數(shù)y的值域是{y|1＜y≤

11

3

}．
（2）∵y=

8

x2-4x+5

，定義域?yàn)镽，
∴當(dāng)y=0時(shí)，不成立；
當(dāng)y≠0時(shí)，原函數(shù)可化為yx²-4yx+5y-8=0，
∴判別式△=16y²-4y（5y-8）≥0，
即有y²-8y≤0，解得0≤y≤8，
但y≠0．
綜上，函數(shù)y的值域是{y|0＜y≤8}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)值域的問題，利用判別式△≥0，可以求出函數(shù)y的值域，是中檔題．