Question

如圖，已知三棱錐P-ABC，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．求證：PC⊥BC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：在三角形PAB中，根據(jù)中線PD=

1

2

AB，證出PA⊥PB．再結(jié)合PA⊥PC，利用線面垂直的判定定理證出AP⊥平面PBC，從而得到AP⊥BC，可證平面PAC⊥平面ABC，從而證出BC⊥平面PAC，即可證明PC⊥BC．

解答： 證明：∵D是AB的中點，△PDB是正三角形，設AB=2，
∴AD=PD=DB=PB=1，由余弦定理知AP=

12+12-2cos120°

=

3

．…（5分）
∴AP²=AB²+PB²，△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，…（6分）
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC．            …（8分）
∵AP?平面APC．
∴平面PAC⊥平面ABC．…（10分）
∵BC⊥AP，AP∩CP=P，AP、PC?平面PAC
∴BC⊥PC．…（12分）

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的性質(zhì)，屬于基本知識的考查．