Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）當PD=1時，求此四棱錐的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明BD⊥DC，BD⊥PD，證明BD⊥平面PDC，然后推出BD⊥PC；
（2）利用PD⊥平面ABCD，證明AB⊥平面PAD，分別求出S_Rt△PAB，S_△PBC，S_Rt△PDA，S_Rt△PDC，S_梯形ABCD，然后求出四棱錐的表面積．
解答：解：（1）證明：由題意可知DC=2，則，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BD⊥PD，而PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PDC．∵PC?平面PDC，
∴BD⊥PC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，即是直角三角形．
．
過D作DH⊥BC于點H，連接PH，
則同理可證PH⊥BC．并且PH==2，
．
易得，
，
．
故此四棱錐的表面積為：
S_Rt△PAB+S_△PBC+S_Rt△PDA+S_Rt△PDC+S_梯形ABCD
==．
點評：本題考查直線與直線的垂直，直線與平面垂直，幾何體的表面積的求法，考查空間想象能力計算能力．