Question

已知函數(shù)f(x)=log3

1+x

1-x

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，函數(shù)y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值為-

a

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷
（2）令f（x）=t，由x∈[0，

1

2

]，可得t∈[0，1]，則函數(shù)y=[f(x)]2-a•f(x)+1=t2-at+1=(t-

a

2

)2+1-

a2

4

，，則通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸

a

2

與區(qū)間[0，1]的關(guān)系可求
最小值為g（a），結(jié)合已知可求a

解答：（1）證明：∵

1+x

1-x

＞0，∴x∈（-1，1）
函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，…（2分）
又∵f（-x）+f（x）=log3

1-x

1+x

+log3

1+x

1-x

=log₃1=0
∴f（-x（=-f（x）
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（6分）
（2）解：令f（x）=t，∵x∈[0，

1

2

]，∴t∈[0，1]…（9分）
函數(shù)y=[f(x)]2-a•f(x)+1=t2-at+1=(t-

a

2

)2+1-

a2

4

設(shè)函數(shù)y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值為g（a）
若a≤0，則當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取到最小值g（a）=1；
由-

a

2

=1，得a=-2
若0＜a＜2，當(dāng)t=

a

2

時(shí)，函數(shù)取到最小值g(a)=1-

a2

4

由-

a

2

=1-

a2

4

，得a=1±

5

（舍）
若a≥2，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取到最小值g（a）=2-a
由-

a

2

=2-a，解得a=4
∴a=-2或a=4…．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與奇偶性，對(duì)a分類(lèi)討論是難點(diǎn)，由f（-x）+f（x）=0判斷該題的奇偶性是好方法，屬于中檔題．