Question

設函數(shù)f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．
（1）若a為實數(shù)，試求函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x），x∈[0，

π

2

]的最小值h（a）；
（2）若存在x₀∈[0，

π

2

]，使|af（x）-g（x）-3|≥

1

2

 成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）F（x）=sinx+cosx+2asinxcosx，令sinx+cosx=t，t∈[1，

2

]，F(xiàn)（x）=m（t）=at²+t-a，t∈[1，

2

]，對a分類討論，結合函數(shù)的單調性即可求其最小值h（a）；
（2）令sinx+cosx=t，t∈[1，

2

]，則|a f（x）-g（x）-3|=|t²-at+2|≥

1

2

，t∈[1，

2

]，利用絕對值不等式可得t²-at+2≥

1

2

，或t²-at+2≤-

1

2

，從而可得a≤t+

3

2t

，或a≥t+

5

2t

，
結合t∈[1，

2

]可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）F（x）=sinx+cosx+2asinxcosx，
令sinx+cosx=t，t∈[1，

2

]，則2sinxcosx=t²-1，
F（x）=m（t）=at²+t-a，t∈[1，

2

]．…2分
①當a＜0時，m（t）=at²+t-a=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

-a是開口向下，對稱軸t=-

1

2a

的拋物線．
若t=-

1

2a

≥

1+ 2

2

，即1-

2

≤a＜0，則h（a）=m（1）=1．
若t=-

1

2a

＜

1+ 2

2

，即a＜1-

2

，則h（a）=m（

2

）=a+

2

．…4分
②當a=0時，m（t）=at²+t-a是[1，

2

]上的增函數(shù)，h（a）=m（1）=1．
③當a＞0時，m（t）=at²+t-a=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

-a是開口向上，
對稱軸t=-

1

2a

＜0的拋物線，故在區(qū)間[1，

2

]上是增函數(shù)，所以h（a）=m（1）=1．…7分
綜上所述，h（a）=

a+ 2 ，a＜1- 2 1，a≥1- 2

 …8分
（2）令sinx+cosx=t，t∈[1，

2

]，
|a f（x）-g（x）-3|=|a（sinx+cosx）-2sinxcosx-3|
=|t²-at+2|≥

1

2

，t∈[1，

2

]，…10分
∴t²-at+2≥

1

2

，或t²-at+2≤-

1

2

．
∴a≤t+

3

2t

，或a≥t+

5

2t

． …12分
當t∈[1，

2

]時，t+

3

2t

∈[

6

，

5

2

]，t+

5

2t

∈[

9

4

2

，

7

2

]． …14分
∴a≤

5

2

，或a≥

9

4

2

．…16分．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查二次函數(shù)的單調性與最值，考查絕對值不等式，考查雙鉤函數(shù)的性質，考查分類討論思想與化歸思想的運用，屬于難題．