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已知雙曲線過點（3，-2）且與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若點M在雙曲線上，F1、F2為左、右焦點．且|MF1|+|MF2|=6
3
，試判斷△MF1F2的形狀．
考點：雙曲線的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）求出橢圓的焦點坐標，設雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
5-a2
=1，代入點（3，-2），求出a2=3，可得雙曲線的標準方程；
（2）不妨設M在雙曲線的右支上，則|MF1|-|MF2|=2
3
，利用|MF1|+|MF2|=6
3
，求出|MF1|=4
3
，|MF2|=2
3
，由余弦定理可得cos∠MF2F1=
12+20-48
2×2
3
×2
5
＜0，即可得出結論．
解答： 解：（1）橢圓4x2+9y2=36可化為
x2
9
+
y2
4
=1，焦點坐標為（±
5
，0），
設雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
5-a2
=1，
代入點（3，-2），可得
9
a2
-
4
5-a2
=1，∴a2=3，
∴雙曲線的標準方程為
x2
3
-
y2
2
=1；
（2）不妨設M在雙曲線的右支上，則|MF1|-|MF2|=2
3
，
∵|MF1|+|MF2|=6
3
，
∴|MF1|=4
3
，|MF2|=2
3
，
∵|F1F2|=2
5
，
∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=
12+20-48
2×2
3
×2
5
＜0，
∴△MF1F2是鈍角三角形．
點評：本題考查橢圓、雙曲線的方程與性質，考查余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1+lnx
x
．
（1）若函數在區(qū)間（a，a+
1
2
）上存在極值，其中a＞0，求實數a的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥
k
x+1
恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）求證：[（n+1）]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：（x-2）2+（y-2）2=
17
2
，直線l：x+y-9=0，過l上一點A作△ABC，使∠BAC=45°，邊AB恰過圓心M，且B、C均在圓M上．
（1）當點A的橫坐標為4時，求直線AC的方程；
（2）求點A橫坐標的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值是
7
4
；已知g（x）=2x-m
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數h（x）=f（x）-（2t-3）x在區(qū)間[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）若f（x）恒在g（x）=2x-m的上方，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且方程f（x）=x的解集為{1，2}．
（1）若方程f（x）=x2有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若a＜0，記f（x）的最大值為g（a），求a•g（a）的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
（1）y2=20x
（2）x2+8y=0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+x，函數F（x）=f（-x）+f（x）-2x．
（1）求函數F（x）的零點；
（2）設F（x）的兩個零點為α、β，且α＜β，集合C={x|α≤x≤β}，若方程f（ax）-ax+1=5（a＞1）在集合C上有解，求實數a的取值范圍；
（3）記函數f（x）在C上的值域為A，若函數g（x）=x2-tx+
t
2
，x∈[0，1]的值域為B，且A⊆B，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x-4）2+（y-5）2=4和圓C2：（x+3）2+（y-1）2=4．
（1）若直線l1過點A（2，0），且與圓C1相切，求直線l1的方程；
（2）直線l2的方程是x=
5
2
，證明：直線l2上存在點P，滿足過P的無窮多對互相垂直的直線l3和l4，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l3被圓C1截得的弦長與直線l4被圓C2截得的弦長相等．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，一輛車要通過某十字路口，直行時前方剛好由綠燈轉為紅燈．該車前面已有4輛車依次在同一車道上排隊等候（該車道只可以直行或左轉行駛）．已知每輛車直行的概率為
2
3
，左轉行駛的概率
1
3
．該路口紅綠燈轉換隔均為1分鐘．假設該車道上一輛直行的車駛出停車線需要10秒，一輛左轉行駛的車駛出停車線需要20秒．求：
（1）前面4輛車恰有2輛左轉行駛的概率為多少？
（2）該車在第一次綠燈亮起的1分鐘內能通過該十字路口的概率（汽車駛出停車線就算通過路口）；
（3）假設每次由紅燈轉為綠燈的瞬間，所有排隊等候的車輛都同時向前行駛，求該車在這十字路口停車等候的時間的數學期望．

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