Question

6．已知關于x的方程4x²+4（k+2）x+（2k²+2k+1）=0的兩實根為α，β，則（α+1）（β+1）的取值范圍是[-$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)方程有實數(shù)根得出k的取值范圍，利用韋達定理得出表達式（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍．

解答 解：∵方程4x²+4（k+2）x+（2k²+2k+1）=0的兩實根為α，β，
∴△=-16（k²-2k-3）≥0，
∴-1≤k≤3，
∵α+β=-k-2，αβ=$\frac{1}{2}$k²$+\frac{1}{2}$k$+\frac{1}{4}$，
（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1
=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{8}$，
∴最小值為-$\frac{7}{8}$，最大值為$\frac{9}{4}$，
故答案為[-$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{4}$]．

點評 考查了判別式，韋達定理和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題型，應熟練掌握．