已知拋物線，直線與E交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn).

（1）求拋物線E的方程；

（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

 

【答案】

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去參數(shù)，得到關(guān)于的方程，得到兩根之和兩根之積，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入到中，化簡(jiǎn)表達(dá)式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出的值，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，先利用點(diǎn)的坐標(biāo)得出直線的斜率，再根據(jù)拋物線方程轉(zhuǎn)化參數(shù)，得到和的關(guān)系式，代入到所求證的式子中，將上一問(wèn)中的兩根之和兩根之積代入，化簡(jiǎn)表達(dá)式得出常數(shù)即可.

試題解析：（Ⅰ）將代入，得．     2分

其中

設(shè)，，則

，．           4分

．

由已知，，．

所以拋物線的方程．           6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

，同理，     10分

所以．     12分

考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理；3.向量的數(shù)量積；4.直線的斜率公式.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓Q：
x2
4
+
y2
3
=1的中心O，焦點(diǎn)與橢圓Q的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線D上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|（Ⅰ）求拋物線D的方程及y1y2的值；
（Ⅱ）求線段AB中點(diǎn)軌跡E的方程；
（Ⅲ）求直線y=
1
2
x與曲線E的最近距離．

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3
2
．
（1）經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)M．證明：
MF
•
MA
=
MF
•
MB
；
（2）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M'，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M'作拋物線C的兩條切線M'A'，M'B'（A'，B'為切點(diǎn)），使得直線A'B'過(guò)點(diǎn)F？若存在，求出拋物線C與切線M'A'，M'B'所圍成圖形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直線l的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線與直線x=-1交于點(diǎn)E，求證：EF⊥AB．

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已知拋物線，直線與E交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn).

（1）求拋物線E的方程；

（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

 

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