Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）cosx+

3

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相應x的取值集合；
（3）求f（x）在[-

π

3

，

π

3

]內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)誘導公式、二倍角公式化簡解析式，再由周期公式求出函數(shù)的周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的最大值和條件求出此函數(shù)的最大值，并求出此時對應的x的集合；
（3）由x的范圍求出2x的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，求出此函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+

3

=2sinxcosx+

3

=sin2x+

3

，
則函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，
（2）當sin2x=1時，函數(shù)取到最大值是1+

3

，
此時2x=

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得x=

π

4

+kπ(k∈Z)，
所以當x∈{x|x=

π

4

+kπ，k∈z}時，f（x）有最大值為1+

3

；
（3）由-

π

3

≤x≤

π

3

得，-

2π

3

≤2x≤

2π

3

，
當-

π

2

≤2x≤

π

2

時，即-

π

4

≤x≤

π

4

，y=sin2x單調(diào)遞增，
且f(x)=sin2x+

3

也單調(diào)遞增，
所以f（x）在[-

π

3

，

π

3

]內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間是[-

π

4

，

π

4

]．

點評：本題考查誘導公式、二倍角公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，整體思想，熟練掌握公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．