Question

13．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=2x\\ y'=y\end{array}\right.$得到曲線C'，設(shè)曲線C'上任一點(diǎn)為M（x，y），求$x+2\sqrt{3}y$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，即可求$x+2\sqrt{3}y$的最大值．

解答 解：（1）直線l的方程為：$\sqrt{3}x-y+2-\sqrt{3}=0$
曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=1
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}x'=2x\\ y'=y\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x'}{2}\\ y=y'\end{array}\right.$，代入C得C'：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
設(shè)橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)，θ∈R）∴$x+2\sqrt{3}y=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$=$4sin（{θ+\frac{π}{6}}）≤4$，
∴$x+2\sqrt{3}y$的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．