Question

（2013•資陽模擬）在等比數列{a_n}中，a₁=1，且4a₁，2a₂，a₃成等差數列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設{a_n}的公比為q，根據等比數列的通項公式與等差中項的定義，建立關于q的等式解出q=2，即可求出{a_n}的通項公式．
（II）根據（I）中求出的{a_n}的通項公式，利用對數的運算法則算出b_n=n-1，從而證出{b_n}是首項為0、公差為1的等差數列，再利用等差數列的前n項和公式加以計算，可得數列{b_n}的前n項和S_n的表達式．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公比為q，
∵4a₁，2a₂，a₃成等差數列，∴4a₁+a₃=4a₂．
又∵{a_n}的公比為q，首項a₁=1，∴4+q²=4q，解之得q=2．
∴數列{a_n}的通項公式為an=a1qn-1=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵an=2n-1，∴bn=log22n-1=n-1，
由此可得b_n+1-b_n=n-（n-1）=1，b₁=0，
∴{b_n}是首項為0、公差為1的等差數列，
因此，數列{b_n}的前n項和Sn=

n(b1+bn)

2

=

n(n-1)

2

．

點評：本題給出等比數列{a_n}滿足的條件，求它的通項公式并依此求數列{b_n}的前n項和．著重考查了等差、等比數列的通項與性質，等差數列的前n項之積公式與對數的運算法則等知識，屬于中檔題．