Question

5．已知動點P（x，y）滿足方程xy=1（x＞0）．
（Ⅰ）求動點P到直線l：x+2y-$\sqrt{2}$=0距離的最小值；
（Ⅱ）設(shè)定點A（a，a），若點P，A之間的最短距離為2$\sqrt{2}$，求滿足條件的實數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點到直線的距離公式與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）設(shè)點$P（x，\frac{1}{x}）$（x＞0），則$d=\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（\frac{1}{x}-a）}^2}}=\sqrt{（{x^2}+\frac{1}{x^2}）-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a^2}}$，設(shè)$x+\frac{1}{x}=t$（t≥2），則${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$$d=\sqrt{{{（t-a）}^2}+{a^2}-2}$，設(shè)f（t）=（t-a）²+a²-2（t≥2），對a與2的大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由點到直線的距離公式可得：$d=\frac{{|x+2y-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|x+\frac{2}{x}-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\sqrt{2}$時距離取得最小值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（Ⅱ）設(shè)點$P（x，\frac{1}{x}）$（x＞0），則$d=\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（\frac{1}{x}-a）}^2}}=\sqrt{（{x^2}+\frac{1}{x^2}）-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a^2}}$，
設(shè)$x+\frac{1}{x}=t$（t≥2），則${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$，$d=\sqrt{{{（t-a）}^2}+{a^2}-2}$，設(shè)f（t）=（t-a）²+a²-2（t≥2）
對稱軸為t=a
分兩種情況：
（1）a≤2時，f（t）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故t=2時，f（t）取最小值
∴${d_{min}}=\sqrt{{{（2-a）}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$，∴a²-2a-3=0，∴a=-1（a=3舍）．
（2）a＞2時，∵f（t）在區(qū)間[2，a]上是單調(diào)減，在區(qū)間[a，+∞）上是單調(diào)增，
∴t=a時，f（t）取最小值，
∴${d_{min}}=\sqrt{{{（a-a）}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{10}$（$a=-\sqrt{10}$（舍），
綜上所述，a=-1或$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．