Question

（本題滿分10分）如圖，多面體ABCDS中面ABCD為矩形， 

   （1）求多面體ABCDS的體積；

   （2）求AD與SB所成角的余弦值；

   （3）求二面角A—SB—D的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）多面體ABCDS的體積即四棱錐S—ABCD的體積。

    所以…………3分

   （II）由題可知DA、DA、DC兩兩互相垂直，

    如圖建立空間直角坐標系

 

 

   

   

   

    AD與SB所成的角的余弦為…………6分

   （III）設面SBD的一個法向量為

   

    又

    設面SAB的一個法向量為

   

    ，

    所以所求的二面角的余弦為  …………10分

    解法二：（I）同解法一

 

 

   （II）矩形ABCD，

=

    AD//BC，即BC=a，

    要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角�！�………3分

    在中，由（1）知面ABCD。

   

    CD是CS在面ABCD內的射影，且

   

   

BC與SB所成的角的余弦為

    從而SB與AD的成的角的余弦為…………6分

   （III）

    面ABCD。

    BD為面SDB與面ABCD的交線。

   

    SDB

    于F，連接EF

    從而得：

    為二面角A—SB—D的平面角

    在矩形ABCD中，對角線

    中，

    由（2）知在

    而

   

    為等腰直角三角形且

            ，

    所以所求的二面角的余弦為…………10分

 

【解析】略