Question

已知函數(shù)在處存在極值．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A，B使得△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）當(dāng)c=e時，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根的個數(shù)．

Answer 1

解（1）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b．（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=0，x=處存在極值，所以解得a=1，b=0．（3分）
（2）由（1）得f（x）=，
根據(jù)條件知A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由∠AOB是直角得，•=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此時無解； （5分）
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．由于AB的中點(diǎn)在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點(diǎn)不可能在x軸上，即t≠1．
由•=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，得c=．
因?yàn)楹瘮?shù)y=（t+1）（e^t-1-1）在t＞1上的值域是（0，+∞），
所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）．（7分）
（3）由方程f（x）=kx，知kx=，可知0一定是方程的根，（8分）
所以僅就x≠0時進(jìn)行研究：方程等價于k=，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=，
對于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g（x）=-x²+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，
當(dāng)x=時取得最大值，其值域是（-∞，0）∪（0，）；
對于x≥1部分，函數(shù)g（x）=，由g′（x）=＞0，知函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，①當(dāng)k＞或k≤0時，方程f（x）=kx有兩個實(shí)根；
②當(dāng)k=時，方程f（x）=kx有三個實(shí)根；
③當(dāng)0＜k＜時，方程f（x）=kx有四個實(shí)根．（14分）
分析：（1）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b，依題意，由可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）由（1）可求得f（x）=，依題意A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．分t＜1與t≥1討論，利用∠AOB是直角，•=0，即可求得實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）由方程f（x）=kx，知kx=，可知0一定是方程的根，x≠0，方程等價于k=，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，
分x＜1且x≠0與x≥1兩類討論，即可確定f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根的個數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，突出分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及創(chuàng)新思維與邏輯思維能力的考查，屬于難題．