(2012•姜堰市模擬)在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4
(2)猜想{an},{bn}的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)由條件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1,由此能求出a2,a3,a4及b2,b3,b4
(2)猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2.然后根據(jù)題設(shè)條件,分別利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
解答:解:(1)由條件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25…(6分)
(2)猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由上可得結(jié)論成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2
那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)
bk+1=
a
2
k+1
bk
=(k+2)2

所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立…(11分)
由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2…(12分)
對(duì)一切正整數(shù)都成立.
點(diǎn)評(píng):本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng),結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用.
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[2,5]
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必要不充分
必要不充分
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[
2
-1
,1]
[
2
-1
,1]

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