Question

【題目】拋物線焦點(diǎn)為F，上任一點(diǎn)P在y軸的射影為Q，PQ中點(diǎn)為R，．

（1）求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡的方程；

（2）直線過(guò)F與從下到上依次交于A，B，與交于F，M，直線過(guò)F與從下到上依次交于C，D，與交于F，N，，的斜率之積為-2．

（i）求證：M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值；

（ii）設(shè)△ACF，△MNF，△BDF的面積分別為，，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）見(jiàn)解析（ii）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P，則R，再設(shè)T（x，y），由可得T與P的坐標(biāo)的關(guān)系，再由P在拋物線上可得動(dòng)點(diǎn)T的軌跡的方程；

（2）（i）聯(lián)立與拋物線可得M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，可得M，N的橫坐標(biāo)之積；（ii）利用三角形的面積公式求出，，，再求出為定值4．

（1）由拋物線，得F（0，1），設(shè)P，則R，再設(shè)T（x，y），由，得（x，y）=+（0，1）=，

∴，則，

∵P（在拋物線上，

∴，即，

所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡的方程是．

（2）（i）設(shè)直線，直線，

聯(lián)立消去y并整理得，解得x=0，或，所以M（，1+），

同理可得N（，1+），∴·=-2，

所以M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為-2．

（ii）聯(lián)立得

設(shè)A，B，C，D，

則,，

同理,，

，

同理，

設(shè)∠AFC=θ，

則

由（i）得，，

∴=

∴

所以為定值4．