Question

3．已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=8x上相異兩點，且滿足x₁+x₂=4．
（Ⅰ）若直線AB經過點F（2，0），求|AB|的值；
（Ⅱ）是否存在直線AB，使得線段AB的中垂線交x軸于點M，且$|MA|=4\sqrt{2}$？若存在，求直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）對AB有無斜率進行討論，聯立方程組消元，根據x₁+x₂=4列方程判斷有無解；
（II）設設AB的方程：y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得k²x²+（2kb-8）x+b²=0
△=（2kb-8）²-4k²b²＞0⇒kb＜2．x1+x2=$\frac{8-2kb}{{k}^{2}}=4$⇒b=$\frac{4}{k}-2k$；
求得線段AB的中點P，寫出線段AB的中垂線方程 得M坐標
M到AB的距離為d，d²=$\frac{16（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{64}{{k}^{4}}（{k}^{4}-1）$；
由AM²=d²+（$\frac{AB}{2}$）²解得k，b即可

解答 解：（I）①若直線AB無斜率，則AB方程為x=2．
此時A（2，4），B（2，-4）．
∴|AB|=$\sqrt{（2-2）^{2}+（4-（-4））^{2}}$=8．
②若直線AB有斜率，設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為：y=k（x-2），
聯立方程組，消元得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$=4，方程無解．
綜上，|AB|=8．
（II）設AB的方程：y=kx+b
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$得k²x²+（2kb-8）x+b²=0
△=（2kb-8）²-4k²b²＞0⇒kb＜2．
x₁+x₂=$\frac{8-2kb}{{k}^{2}}=4$⇒b=$\frac{4}{k}-2k$；
∴線段AB的中點P（2，$\frac{4}{k}$），
線段AB的中垂線方程：y-$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-2），即ky+x-6=0，∴M（6，0）．
M到AB的距離為d，d²=$\frac{16（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{64}{{k}^{4}}（{k}^{4}-1）$；
∵AM²=d²+（$\frac{AB}{2}$）²解得k²=1，
∵b=$\frac{4}{k}-2k$；∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$以上兩組均不滿足△＞0．
∴不存在直線AB，使得線段AB的中垂線交x軸于點M，且$|MA|=4\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與圓錐曲線的位置關系，弦長公式，及復雜的運算，屬于中檔題．