Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2010，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．
（3）當(dāng)k=1時(shí)，證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有

f(x)-x2

2a

＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

分k是奇數(shù)時(shí)，f'（x）＞0，及k是偶數(shù)討論，f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

的符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)f （x）在（0，+∞）的單調(diào)性
（2）由k=2010，可得f（x）=x²-2alnx，構(gòu)造函數(shù)g （x）=f （x）-2ax=x ²-2 a xlnx-2ax，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解
（3）當(dāng)k=1時(shí)，問題等價(jià)于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，由導(dǎo)數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

設(shè)m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得m(x)max=m(1)=-

1

e

，從而對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

解答：解：（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；       
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以當(dāng)x∈(0，

a

)時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f （x）在(0，

a

)上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g （x）=f （x）-2ax=x ²-2 a xlnx-2ax，g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因?yàn)閍＞0，x＞0，
所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x 2=

a+ a2+4a

2

．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

兩式相減得2alnx₂+ax₂-a=0，因?yàn)閍＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因?yàn)樵趚＞0時(shí)，h （x）是增函數(shù)，所以h （x）=0至多有一解．
因?yàn)閔 （1）=0，所以方程（*）的解為x ₂=1，從而解得a=

1

2

（3）當(dāng)k=1時(shí)，問題等價(jià)于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由導(dǎo)數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時(shí)取到，
設(shè)m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到
從而對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．故命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求解函數(shù)的最值，而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)常見的處理方法是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值以證明不等式，屬于綜合性試題．