Question

曲線f（x）=（x-3）e^x，當x∈（2，+∞）時，f（x）＞k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-e²]
分析：x∈（2，+∞）時，f（x）＞k恒成立，等價于f（x）_min＞k，利用導數(shù)判斷f（x）的單調性，由單調性即可求得其最小值．
解答：f′（x）=e^x+（x-3）e^x=e^x（x-2），
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上單調遞增，f（x）＞f（2）=-e²，
因為x∈（2，+∞）時，f（x）＞k恒成立，
所以-e²≥k，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-e²]．
故答案為：（-∞，-e²]．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立往往轉化為函數(shù)最值解決，本題需要注意k與最小值的關系，含有等號．