Question

14．如圖，過圓O外一點P作圓的切線PC，切點為C，割線PAB、割線PEF分別交圓O于A與B、E與F．已知PB的垂直平分線DE與圓O相切．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若$PC=2\sqrt{3}$，DE=1，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可證得；
（2）由切割線定理，勾股定理，即可計算解得答案．

解答 （1）證明：連接BE，
∵DE與圓O相切，
∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE
又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP
∴∠BFE=∠DEP，
∴DE∥BF；
（2）解：由切割線定理，得 PC²=PE×PF=12，
∵D為線段BP的中點，DE∥BF；
∴PF=2PE，
∴PF=2$\sqrt{6}$，
∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分線DE與圓O相切．
∴DE為Rt△PBF的中位線，
∴DE=2，
在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查弦切角定理，考查切割線定理，考查線段長度的計算，屬于中檔題．