Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x+k，k∈Z，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x•e^x，得f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定單調(diào)區(qū)間．
（2）不等式f（x）+5＞0恒成立?（x-k）e^x+k+5＞0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，令F（x）=（x-k）e^x+k+5，F(xiàn)′（x）=e^x（x-k+1）（x∈R），可得f（x）在（-∞，k-1）上是減函數(shù)，在（k-1，+∞）上是增函數(shù)，分兩種情況討論：①k-1≤0，②k-1＞0．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x•e^x，
∴f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
（2）不等式f（x）+5＞0恒成立?（x-k）e^x+k+5＞0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，
令F（x）=（x-k）e^x+k+5，F(xiàn)′（x）=e^x（x-k+1），（x∈R）
當(dāng)x∈（-∞，k-1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（k-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，k-1）上是減函數(shù)，在（k-1，+∞）上是增函數(shù)，
①k-1≤0時(shí)，即k≤1時(shí)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）≥0即可
而F（0）=5＞0恒成立，∴k≤1符合題意．
②k-1＞0時(shí)，即k＞1時(shí)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（k-1）=-e^k-1+5+k＞0即可
令h（k）=-e^k-1+5+k，h′（k）=1-e^k-1＜0恒成立，即h（k）=-e^k-1+5+k單調(diào)遞減
又∵h(yuǎn)（2）=-e+7＞0，h（3）=-e²+8＞0，h（4）=-e³+3＜0，
∴1＜k≤3
綜上，k的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．