Question

8．已知正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為2，且球心在點A，B，C所確定的平面上，則該正三棱錐的表面積是（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$+3
• B． 3（$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$）
• C． 3$\sqrt{15}$+3$\sqrt{2}$
• D． 3（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 畫出圖形，求出正三棱錐的底面邊長，側棱長以及斜高，然后求解正三棱錐的表面積．

解答 解：正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，
其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上．
所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半徑，也是正三棱錐的高，
則R=2，
由題意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高為：3．
則$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3，AB=2$\sqrt{3}$，PA=3$\sqrt{2}$，
則該正三棱錐的表面積是：$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$+3×$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{15}$．
故選：B．

點評 本題考查空間幾何體的表面積的求法，正三棱錐與外接球的關系，考查空間想象能力以及計算能力．