Question

已知函數(shù).
⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑵ 如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍；
⑶ 是否存在正實數(shù)，使得：當(dāng)時，不等式恒成立？請給出結(jié)論并說明理由.

Answer 1

(1).;(2)⑶詳見解析.

試題分析：(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解，注意導(dǎo)數(shù)的四則運算；（2）利用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為總成立，只需時.借助求導(dǎo)，研究的性質(zhì)，通過對參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實數(shù)的取值范圍；⑶通過構(gòu)造函數(shù)和等價轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為，要使在上恒成立，只需.然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的最大值，進(jìn)而證明結(jié)論.
試題解析：：(1) 由于，
所以.       (2分)
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.                         (4分)
(2) 令，要使總成立，只需時.
對求導(dǎo)得，
令，則，()
所以在上為增函數(shù)，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當(dāng)時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；
② 當(dāng)時，在上有實根，因為在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，不符合題意；
③ 當(dāng)時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.                    (9分)
(3) 存在正實數(shù)使得當(dāng)時，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                 (10分)
因為，且，，所以存在正實數(shù)，使得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時，，所以只需均滿足：當(dāng)時，恒成立.                 (12分)
注：因為，，所以