Question

四棱錐P－ABCD中，側(cè)面APD⊥底面ABCD，∠APD＝∠BAD＝90°，∠ADC＝60°，E為AD上一點(diǎn)，AE＝2，AP＝6，AD＝CD＝8，．

(Ⅰ)求證AB⊥PE；

(Ⅱ)求證：CD∥平面PBE；

(Ⅲ)求二面角A－PD－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：方法1： 　　(Ⅰ)證明：∵，即， 　　∵側(cè)面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD． 　　∵面APD，∴AB⊥PE． 　　(Ⅱ)證明：∵∠BAD＝90°，，AE＝2， 　　∴∠AEB＝60°． 　　∵∠ADC＝60°，CD，BE共面，∴CD∥BE． 　　又面PBE，面PBE， 　　∴CD∥面PBE． 　　(Ⅲ)解： 　　在面ABCD內(nèi)作CF⊥AD，垂足為F， 　　∵側(cè)面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD． 　　在面APD內(nèi)作FG⊥PD，垂足為G，連結(jié)CG，則CG⊥PD， 　　∴∠CGF是二面角A－PD－C的平面角． 　　∴FC＝8sin60°＝，F(xiàn)D＝8cos60°＝4． 　　∵AP⊥PD，∴AP＝2FG＝6，于是FG＝3． 　　∴．∴為所求． 　　方法2： 　　如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 　　所以各點(diǎn)的坐標(biāo)是A(0，－，0)， 　　B(2，－，0)，C(4，－，0)， 　　D(0，，0)，E(0，－，0)，P(0，0，) 　　(Ⅰ)證明：容易求出＝(2，0，0)， 　　＝(0，－，－)， 　　∵·＝(2，0，0)·(0，－，－)＝0， 　　∴⊥．即AB⊥PE． 　　(Ⅱ)證明：容易求出＝(－4，4，0)， 　　平面PBE的一個(gè)法向量為(－，－，)， 　　∵·(－4，4，0)·(－，－，)＝(－4)(－)＋4(－)＝0， 　　∴⊥． 　　又面PBE，∴CD∥平面PBE． 　　(Ⅲ)解：設(shè)所求二面角的大小為θ， 　　∵n2·n3＝(，3，)·(1，0，0)＝，＝， 　　∴．∴． 　　∴所求二面角的大小為．