Question

已知數(shù)列的首項(xiàng).

（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)任意的；

（3）證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）將兩邊去倒數(shù)并常量分量，然后所得式子變形數(shù)列{}的第n+1項(xiàng)是第n項(xiàng)若干倍形式，根據(jù)等比數(shù)列定義即可判定{}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，先求出{}的通項(xiàng)公式，再解出的通項(xiàng)公式；（2）將不等式右側(cè)式子配湊的通項(xiàng)公式形式，再將其化為關(guān)于的二次函數(shù)最值問(wèn)題，通過(guò)放縮即可證明該不等式；（3）先將的通項(xiàng)公式常量分量，代入，通過(guò)放縮即可證明不等式的左半部分，對(duì)利用（2）的結(jié)論縮小，出現(xiàn)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列取為該數(shù)列前n項(xiàng)和的算術(shù)平局值，即可證明該不等式右半部分.

試題解析：（1），又

所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．

5分

（2）由（1）知

9分

（3）先證左邊不等式，由知；當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； 11分

再證右邊不等式，由（2）知，對(duì)任意，有，

取，

則 14分

考點(diǎn):等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；二次函數(shù)最值；放縮法；轉(zhuǎn)化與化歸思想；運(yùn)算求解能力