Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，a₂+a₈=14，S₅=25．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組求得a₁和d，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，a₂+a₈=14，2a₁+6d=14，①
S₅=25，即5a₁+10d=25，②
∴聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，…（3分）
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∴a_n=2n-1；…（5分）
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（7分）
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$，
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{n}{2n+1}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．