Question

過橢圓

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，F(xiàn)₂為右焦點，若△ABF₂為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)F₁（-c，0），根據(jù)已知條件容易判斷|AF₁|=|F₁F₂|=2c，這樣即可求得A點坐標(biāo)，并帶入橢圓方程得到：

c2

a

+

4c2

b

=1，又c²=a-b，帶入即可用b表示a：a=

1+ 2

2

b，帶入c²=a-b得c2=

2 -1

2

b，所以

c2

a

=(

2

-1)2，這樣即可求出離心率．

解答： 解：如圖，設(shè)F₁（-c，0），△ABF₂為等腰直角三角形，∴∠AF₂B=90°，∠AF₂F₁=45°，∴△AF₂F₁為等腰直角三角形；
∴|AF₁|=|F₁||F₂|=2c，∴A（-c，2c）；
∴將A點坐標(biāo)帶入橢圓方程得：

c2

a

+

4c2

b

=1，又c²=a-b，∴

a-b

a

+

4(a-b)

b

=1，將該等式變成：
4a²-4ba-b²=0，把該等式看成關(guān)于a的方程，解方程得：a=

(1+ 2 )b

2

，或

(1- 2 )b

2

(舍去)；
∴c2=a-b=

( 2 -1)b

2

，∴

c2

a

=(

2

-1)2；
∴該橢圓離心率為：

2

-1．

點評：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓上的點和橢圓方程的關(guān)系，橢圓的離心率及計算公式：e=

c

a

．