Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{{{x^2}-2x+1}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）證明：當x＞1時，f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）進行求導，令f'（x）＞0，解出x的范圍即單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），則$g'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-x+1=\frac{{-{x^2}+x+1}}{x}$，
令f'（x）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-{x^2}+x+1＞0\end{array}\right.$，解得$0＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．
（2）令g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），
則$g'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即當x＞1時，f（x）＜x-1．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導數(shù)求函數(shù)最值與恒成立問題，屬中等題．