Question

求方程2^x＋x＝4的近似解(精確度0.1)．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：求方程2^x＋x＝4的近似解既可看成求函數(shù)y＝2^x＋x－4的零點(diǎn)近似值，又可看成求函數(shù)f(x)＝2^x與g(x)＝－x＋4的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值．

　　解法一：令f(x)＝2^x＋x－4，則f(1)＝－1＜0，f(2)＝2＞0，所以，在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．又因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以這個零點(diǎn)是函數(shù)唯一的零點(diǎn)．利用二分法可求得它的近似值為1.4，所以方程2^x＋x＝4的近似解為1.4．

　　解法二：令f(x)＝2^x，g(x)＝－x＋4，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，如圖所示，在這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等，因此，這個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程2^x＝4－x的解，即方程2^x＋x＝4的解．由圖可知，方程2^x＋x＝4的解在區(qū)間(1，2)內(nèi)，利用二分法可求得方程的近似解為1.4．

　　點(diǎn)評：函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是方程的根．通過畫出函數(shù)的圖象，觀察交點(diǎn)位置，可以得到方程根所在的區(qū)間；然后利用函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，這樣，在用二分法求方程近似解時就有針對性．借助函數(shù)，利用圖象求方程近似解是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．