Question

方程sinx+cosx=k在[0，π]上有兩個解，則k的取值范圍為（　　）

• A．（-

  2

  ，

  2

  ）
• B．[-1，

  2

  ]
• C．[0，

  2

  ]
• D．[1，

  2

  ）

Answer 1

分析：設(shè)y₁=sinx+cosx，y₂=k，方程sinx+cosx=k在[0，π]上有兩個解轉(zhuǎn)化為函數(shù)y₁=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]的圖象與直線y₂=k有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可求得k的取值范圍．

解答：解：設(shè)y₁=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）
=

2

（sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

）
=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈[0，π]，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

；
再令y₂=k，
則方程sinx+cosx=k在[0，π]上有兩個解等價于函數(shù)y₁=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]的圖象與直線y₂=k有兩個交點，

∴1≤k＜

2

．
故選D．

點評：本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查輔助角公式的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．