Question

【題目】橢圓的焦點為和，過的直線交于兩點，過作與軸垂直的直線，又知點，直線記為，與交于點．設(shè)，已知當時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：無論如何變化，點的橫坐標是定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值為3

【解析】

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，當時，不妨設(shè)，則，由橢圓的定義得，從而，可得點A在y軸上，不妨設(shè)，由可得，將B代入橢圓方程即可；

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，，聯(lián)立橢圓方程可得，進一步可得，，利用點斜式可得BH的方程以及直線的方程，解方程組即可.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，其中，由已知，當時，不妨設(shè)，

則，又，所以，由橢圓的定義得，

從而，此時點A在y軸上，不妨設(shè)，

從而由已知條件可得，解得，

故，代入橢圓方程，解得，所以，

故所求橢圓方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，，將代入橢圓

中，得，即，

，所以，

由已知，，直線BH的斜率，

所以直線BH的方程為，而直線的方程為，代入，

解得，故點的橫坐標是定值3.