△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
(Ⅰ)B=(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以
sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inC0,所以
,解得B=
;
(Ⅱ)由余弦定理得:,即
,由不等式得:
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),取等號(hào),所以
,解得
,所以△ABC的面積為
=
,所以△ABC面積的最大值為
.
本題第(Ⅰ)問,已知邊角混和式,即a=bcosC+csinB,可以考慮邊角互化,同時(shí)注意三角形的內(nèi)角和為,再應(yīng)用兩角和的正弦公式,即可求出結(jié)果;對(duì)第(Ⅱ)問,求三角形的面積,必須應(yīng)用面積公式,最后結(jié)合均值不等式,即可求出.對(duì)第(Ⅰ)問,一部分同學(xué)們忽視sin(B+C)= sinA這一關(guān)鍵而解答不出來;第(Ⅱ)問,往往一部分同學(xué)考慮不到應(yīng)用不等式來求出面積的最大值,綜合應(yīng)用能力需要加強(qiáng).
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查正余弦定理的應(yīng)用、三角形的面積公式、兩角和的正弦定理、已知三角函數(shù)值求解、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,高考中一般會(huì)出現(xiàn)一個(gè)解答題與一至兩個(gè)小題,主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角變換、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí),難度不大,所以熟練本部分的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.
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