Question

16．設數列{a_n}的前n項和為S_n．且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），則S_2n+1=$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]．

Answer 1

分析 由題意可知：a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），則a_2n+a_2n+1=$\frac{1}{{2}^{2n}}$，因此S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）+（a_2n+a_2n+1），可知S_2n+1表示的是以1為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數列的前n+1項和，由等比數列前n項和公式即可求得S_2n+1．

解答 解：依題意，S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）+（a_2n+a_2n+1），
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$，
=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]，
故答案為：$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，等比數列前n項和公式，考查運算求解能力，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．