Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上最大值；
（2）關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得二次函數(shù)的對稱軸，及端點處的函數(shù)值，可得最大值；
（2）由題意可得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在x∈[1，2]時的最小值大于或等于2，得到a的不等式組，求解即可得到所求范圍．

解答 解：（1）若a=2，則f（x）=ax²+（a-1）x+a=2x²+x+2，x∈[-1，1]，
對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，f（-1）=3，f（1）=5，
∴f（x）_max=5；
（2）設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=a（x+$\frac{1}{x}$）+a-1，
當(dāng)x∈[1，2]時，x+$\frac{1}{x}$∈[2，$\frac{5}{2}$]，
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，
∴h（x）在x∈[1，2]時的最小值大于或等于2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+a-1≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{5}{2}a+a-1≥2}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≥\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
解得a≥1．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法和不等式恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性和參數(shù)分離的方法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．