Question

某班級(jí)共派出個(gè)男生和個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場(chǎng)儀式，其中男生甲為領(lǐng)隊(duì).入場(chǎng)時(shí)，領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，共有種排法；入場(chǎng)后，又需從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，共有種選法.

（1）試求和； 

（2）判斷和的大�。�），并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）， 

（2） 

【解析】（1）根據(jù)排列和組合知識(shí)求出和；（2）先根據(jù)前幾個(gè)特殊項(xiàng)猜想出結(jié)果，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟去證明，本題在證明n=k+1時(shí)，用到了分析法

解：(1)，.

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911262774953527/SYS201207091127152495534954_DA.files/image006.png">，所以，，，由此猜想：當(dāng)時(shí)，都有，即.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）.

1)         當(dāng)時(shí)，該不等式顯然成立.

2)         假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，要證當(dāng)時(shí)不等式成立.只要證：，只要證：.

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911262774953527/SYS201207091127152495534954_DA.files/image020.png">，所以在上單調(diào)遞減，

從而，而，所以成立.

則當(dāng)時(shí)，不等式也成立.

綜合1)、2）得原不等式對(duì)任意的均成立.